“绝对值”型函数单调性探究

——侯彦

【教学目标】在掌握函数单调性基本定义的基础上，学会利用函数图像来判断函数的单调区

间。“绝对值”型函数一般以分段画图为主，通过学生的画图探究，找到涉及

单调性主要因素，简化作图过程，并拓展到更一般的折线形绝对值函数，探究

其单调性。

【教学重点】1. 学会两类折线型绝对值函数的图像，会找到单调区间。

            2. 归类总结两类绝对值函数的一般形式中各系数对于图像的影响，并能用于

一般解题中。

【教学难点】学生对于绝对值分段时的正负讨论问题

【教学过程】

      “绝对值”型函数主要有折线型和曲线型两类，这节课主要讨论折线型的绝对值函数的单调性问题。

一．              函数单调性复习：

对于给定区间上任意 ，当 时，若有 ，则 在此区间上为单调增函数；若有 ，则称 在此区间上为单调减函数。

单调性主要是指 与 的变化趋势是否一致，一致的话为增函数，相反的话为减函数。所以利用函数图像来解决单调性问题最为直观。

 

二．“折线型”绝对值函数：绝对值内都为一次函数

A．单绝对值：

例1：根据图像写出下列函数单调区间：

(1)             (2)

(3)       (4)      (5)

(6)

结论： ，图像为“V”字型

      (i) 的正负影响开口方向

      (ii) 拐点 为单调性的转折点

      (iii) 开口大小与上下平移不影响单调性

 

例2：若 在 上单调递增，求 范围。

 

例3：若 在 上单调递增，求 范围。

B. 双绝对值：

例4：根据图像求下列函数单调区间：

先要求学生写出分段函数并画出图像，找到成图原因。

变式一：

 

变式二：

 

变式三：

 

让学生考虑一次项系数对于图像的影响。

 

例5：根据图像求下列函数单调区间：

问：如何让图像翻转，单调性相反？（ ）

可以让学生自己课后尝试如例1的变式形式

结论： 图像为三折线，由四点确定

 

思考：求函数 的单调递增区间